什么是等腰三角形?
等腰三角形是一种几何图形，其特点是拥有两个相等的边，称为腰。另一个不相等的边被称为底边。值得注意的是，等腰三角形的一个特性是相等边对面的角，也称为底角，是相等的。等腰的两个相等边之间的角被称为顶角。由于其对称性，等腰三角形在几何学中广泛使用，与之相关的有许多有趣的性质和定理。
这个计算器可以计算什么？
如果某些参数已知，该计算器允许您在线计算等腰三角形的边长、高度、角度、面积和周长。要计算等腰三角形的其他参数，可以使用附加的计算器，例如边、底边、高度和角。
关键术语和符号
腰（aaa）：三角形的两个相等边。
底边（bbb）：与腰不同的边，位于顶点的对面。
从顶点到底边的高（h1h_1h1）：从顶点垂直降到底边的垂线（也作为中线和角平分线）。
到腰的高（h2h_2h2）：从底角降到对面腰的垂线。
顶角（β\betaβ）：两条相等的边之间的角。
底角（α\alphaα）：底边两端的角。
周长（PPP）：三角形所有边的长度总和。
面积（SSS）：三角形边围成的面积。
等腰三角形的性质
腰的相等性：腰（用aaa表示）的长度相等。
底角的相等性：底角（用α\alphaα表示）是相等的。
中线、高和角平分线：从顶点出发，高度、中线和角平分线重合并与底边形成直角。
腰的高度相等：从底角到对面腰的高度相等。
底角角平分线的相等性：底角的角平分线是相等的。
公式
以下是等腰三角形的一些值的基本计算公式 。
计算侧边 aaa 的公式:
a=(b2)2+h12a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h_1^2}a=(2b)2+h12
计算底边 bbb 的公式:
b=4a2−4h12b = \sqrt{4a^2 - 4h_1^2}b=4a2−4h12
计算从顶点到边的高（中位线和角平分线）h1h_1h1:
h1=a2−(b2)2h_1 = \sqrt{a^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2}h1=a2−(2b)2
计算侧边高 h2h_2h2 的公式:
h2=a⋅sin(β)h_2 = a \cdot \sin\left(\beta\right)h2=a⋅sin(β)
求顶角 β\betaβ:
β=180∘−2⋅arccos(b2a)\beta = 180^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{b}{2a}\right)β=180∘−2⋅arccos(2ab)
计算底角 α\alphaα:
α=180∘−β2\alpha = \frac{180^\circ - \beta}{2}α=2180∘−β
根据公式计算面积 SSS:
已知腰和底边：
S=14⋅b⋅4a2−b2S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}S=41⋅b⋅4a2−b2
已知底边和高度：
S=12⋅b⋅h1S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1S=21⋅b⋅h1
已知腰和顶角：
S=12⋅a2⋅sin(β)S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)S=21⋅a2⋅sin(β)
周长（PPP）：
P=2a+bP = 2a + bP=2a+b
如果知道底边bbb和高度h1h_1h1，可用以下公式替换周长公式中的aaa：
a=h12+(b2)2a = \sqrt{h_1^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}a=h12+(2b)2
如果知道腰aaa和顶角β\betaβ，可用以下公式替换bbb：
b=2a⋅sin(β2)b = 2a \cdot \sin\left(\frac{\beta}{2}\right)b=2a⋅sin(2β)
例子
计算侧边的示例
假设我们有一个底边为 b=8b = 8b=8 和顶点到底边的高为 h1=6h_1 = 6h1=6 的三角形。求侧边 aaa:
a=(82)2+62=16+36=52≈7.21a = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \approx 7.21a=(28)2+62=16+36=52≈7.21
计算底边的示例
如果侧边为 a=5a = 5a=5 和顶点到底边的高为 h1=4h_1 = 4h1=4，则计算底边 bbb:
b=4⋅52−4⋅42=100−64=36=6b = \sqrt{4 \cdot 5^2 - 4 \cdot 4^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6b=4⋅52−4⋅42=100−64=36=6
求顶角
如果侧边 a=10a = 10a=10 和底边 b=16b = 16b=16，找出顶角 β\betaβ:
β=180∘−2⋅arccos(162⋅10)=180∘−2⋅arccos(0.8)≈180∘−2⋅36.87∘≈180∘−73.74∘≈106.26∘\beta = 180 ^\circ - 2 \cdot \arccos\left(\frac{16}{2 \cdot 10}\right) = 180 ^\circ - 2 \cdot \arccos(0.8) \approx 180 ^\circ - 2 \cdot 36.87^\circ \approx 180 ^\circ - 73.74^\circ \approx 106.26^\circβ=180∘−2⋅arccos(2⋅1016)=180∘−2⋅arccos(0.8)≈180∘−2⋅36.87∘≈180∘−73.74∘≈106.26∘
计算面积
例1： 找出边长为a=5a = 5a=5 cm和底边长为b=6b = 6b=6 cm的等腰三角形的面积。
使用公式：
S=14⋅b⋅4a2−b2S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}S=41⋅b⋅4a2−b2
替代已知值：
S=14⋅6⋅4×52−62=12 cm2S = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot \sqrt{4 \times 5^2 - 6^2} = 12 \text{ cm}^2S=41⋅6⋅4×52−62=12 cm2
例2： 找出底边为b=8b = 8b=8 cm和高度h1=5h_1 = 5h1=5 cm的等腰三角形的面积。
使用公式：
S=12⋅b⋅h1S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1S=21⋅b⋅h1
替代已知值：
S=12⋅8⋅5=12⋅40=20 cm2S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \text{ cm}^2S=21⋅8⋅5=21⋅40=20 cm2
例3： 找出腰a=7a = 7a=7 cm和顶角β=45∘\beta = 45^\circβ=45∘的等腰三角形的面积。
使用公式：
S=12⋅a2⋅sin(β)S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)S=21⋅a2⋅sin(β)
替代已知值：
S=12⋅72⋅sin(45∘)≈17.32 cm2S = \frac{1}{2} \cdot 7^2 \cdot \sin(45^\circ) \approx 17.32 \text{ cm}^2S=21⋅72⋅sin(45∘)≈17.32 cm2
计算周长的例子
例1： 如果一个等腰三角形的底边长为8 cm，高为6 cm，计算周长。
计算腰：
a=62+(82)2=36+16=52≈7.21 cma = \sqrt{6^2 + \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} \approx 7.21 \text{ cm}a=62+(28)2=36+16=52≈7.21 cm
周长（PPP）：
P=2×7.21+8=22.42 cmP = 2 \times 7.21 + 8 = 22.42 \text{ cm}P=2×7.21+8=22.42 cm
例2： 如果一个等腰三角形的边长为10 cm，顶角为60º，计算周长。
计算底边：
b=2×10⋅sin(30º)=20×0.5=10 cmb = 2 \times 10 \cdot \sin\left(30º\right) = 20 \times 0.5 = 10 \text{ cm}b=2×10⋅sin(30º)=20×0.5=10 cm
周长（PPP）：
P=2×10+10=30 cmP = 2 \times 10 + 10 = 30 \text{ cm}P=2×10+10=30 cm
注意事项
如果所有边相等，等腰三角形可以是等边三角形。
由于对称性，高度也作为中线和角平分线。
三角函数常用于计算角度和高度。
常见问题解答
等腰三角形的面积如何计算？
等腰三角形的面积可通过几种方法计算：
已知底边和高度：S=12⋅b⋅h1S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_1S=21⋅b⋅h1
已知腰和顶角：S=12⋅a2⋅sin(β)S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \sin(\beta)S=21⋅a2⋅sin(β)
已知底边和一条腰：S=14⋅b⋅4a2−b2S = \frac{1}{4} \cdot b \cdot \sqrt{4a^2 - b^2}S=41⋅b⋅4a2−b2
等腰三角形的所有高度相等吗？
不是，从顶点到底边的高度等于中线和角平分线，而从底角到对面腰的高度彼此相等。
如果腰为7 cm，底边为10.5 cm，如何找到一个等腰三角形的周长？
使用公式：P=2a+bP = 2a + bP=2a+b。
在这种情况下，a=7a = 7a=7, b=10.5b = 10.5b=10.5; 因此，P=2×7+10.5=24.5 cmP = 2 \times 7 + 10.5 = 24.5 \text{ cm}P=2×7+10.5=24.5 cm。
计算等腰三角形周长需要哪些数据？
要计算周长，仅需要底边的长度和一条腰即可。高度或角度也可以在组合计算中使用。
Heron公式可以用来计算等腰三角形的面积吗？
如果已知三角形的所有边长，Heron公式完全可以用于计算面积。它适用于等腰三角形以及任何其他三角形。